Elemi vektorszámítások

Jelölések, definíciók
Lehetnek közöttük teljesen önkényes, szabványon kívüliek is, ezért előre is elnézést kérek.
Automatikus összegzés:
Ha egy szorzatban egy index kettő vagy több alkalommal szerepel, akkor automatikusan összegezni kell az illető index szerint, pl.: Ail := BijCjkDkl esetén a jobboldalon j és k szerint kell összegezni. Ez nem vonatkozik 'kötött' indexekre, mint pl. itt az i-re: ai = bici
Derivált, egyváltozós (skalárváltozós) függvényé
skalárértékű függvény deriváltja skalárértékű függvény, vektorértékű függvény deriváltja vektorértékű függvény
jelölése: f' = df/dt, g' = dg/dt = [gi']i
Derivált, többváltozós (vektorváltozós) függvényé, parciális
skalárértékű függvény parciális deriváltja skalárértékű függvény, vektorértékű függvény parciális deriváltja vektorértékű függvény
jelölése: ∂if = ∂xif = ∂f/∂xi, ∂ig = ∂xig = ∂g/∂xi = [∂igj]j
Derivált, teljes
egy vektor-vektor függvény teljes deriváltja (avagy Jacobi mátrixa):
df = Jf = [∂jfi]ij = (∇fT)T = (∇⊗f)T
Ha az f függvény Rn-ről Rm-re képez, akkor a df függvény Rn-ről Rmxn-re képez.
Derivált, gradiens
skalárértékű vektorváltozós függvény gradiense egy vektorváltozós vektorértékű függvény: grad f = [∂if]i
Jelölése nabla operátorral: grad f = ∇f,
Kapcsolat a teljes deriválttal: grad f = (df)T
Derivált, divergencia
vektorértékű vektorváltozós függvény divergenciája egy vektorváltozós skalárértékű függvény: div f = ∂ifi
Jelölése nabla operátorral: div f = ∇⋅f = ∇Tf
Kapcsolat a teljes deriválttal: div f = trace(df)
Derivált, rotáció
csak háromdimenziós térben értelmezett operátor; vektorértékű vektorváltozós függvény rotációja egy vektorváltozós vektorértékű függvény:
rot f = [εijk∂jfk]i
Jelölése nabla operátorral: rot f = ∇×f
Kapcsolat a teljes deriválttal: rot f = twist(∇⊗f) = -twist(df)
Egyenlőségfüggvény
Legyen i és j egészek esetén eij értéke 1, ha i=j és 0 egyébként. Példa a használatára: ∂ixj = eij, I = [eij]ij
Egymásmellé írás (jelöletlen szorzás)
skalár szorzása skalárral λκ
skalár és vektor szorzata λv
skalár és mátrix szorzata λA
mátrixszorzás Ab vagy bTAc vagy bTc vagy bcT
tovább lásd lentebb az 'Operátor szorása' részt
Hosszúság, avagy abszolút érték
Egy vektor hossza vagy abszolút értéke az önmagával vett skalárszorzat négyzetgyöke: |r| = abs(r) = sqrt(r⋅r)
Egy skalár hossza a hagyományos értelmben vett abszolút értéke.
Identitásfüggvény
skalár-skalár vagy vektor-vektor függvény, a függvényérték azonos a paraméterrel; jele id, id, idn ahogy az egyértelműség megkívánja.
Levi-Civita epsilon
n-változós függvény, aminek a (rendszerint alsóindexként jelölt) paraméterei 1-n közötti egészek, a függvényérték pedig 0 vagy ±1. Nulla, ha a paraméterek között van ismétlődő érték; 1, ha a paraméterek páros számú cserével átrendezhetőek az 1..n sorozattá; -1 ha ehhez páratlan sok csere kell. pl.: ε123 = 1, ε321 = -1
Példa: εkij = -εikj = εijk, εkji = -εijk
Mátrix elemeinek elérése
Két alsóindexszel jelöljük a kívánt elemet, pl.: Aij = ui + v3-i
Mátrix sorainak elérése
Egy alsóindexszel jelöljük a kívánt sort, így megadva egy sorvektort: [Ai]j = Aij
Mátrix oszlopainak elérése
Az alábbi speciális jelöléssel válasszuk ki a kívánt oszlopot, így megadva egy oszlopvektort: [Acol=j]i = Aij
Acol=j = ((AT)j)T
Mátrix leírása komponensenként
Egyszerűsített lehetőség egy mátrix elemeinek megadására: A = [képlet(i,j)]ij pl. AT = [Aji]ij
Mátrixszorzás
asszociatív de nem kommutatív művelet, melyet egymásmellé írás jelöl. Két mátrix összeszorozható, ha az első oszlopai száma megegyezik a második sorai számával. Az oszlopvektor n×1-es, a sorvektor 1×n-es mátrixnak tekintendő.
Definíció: [AB]ij := AikBkj
Egyes műveletek visszavezethetők mátrixszorzásra, pl.: a⋅b = aTb, a⊗b = abT
Egységmátrix
Olyan nxn-es mátrix, melyre Iij = eij, vagyis a főátlóban csupa egy van, a többi eleme null. Szükség esetén a dimenzióját indexszel jelöljük: I1, I3, In
Mátrix nyoma
Egy négyzetes mátrix nyoma a főátló elemeinek összege: trace(A) = Ajj
Mátrix csavarodása
Egy 3x3-es mátrix csavarodása a következő oszlopvektor: twist(A) = [εijkAjk]i = (A23-A32, A31-A13, A12-A21)T
twist(AT) = -twist(A)
Nabla operátor (∇)
egy differenciáloperátor, amit formálisan oszlopvektorként ábrázolunk ∇ = [∂i]i
kontextustól függően jelölhet például gradienst (∇g), divergenciát (∇⋅f) vagy rotációt (∇×f) is.
Operátor szorzása
operátor alkalmazását egymás mellé írás jelöli: ∂if vagy ∇g (figyelem, ez a művelet nem kommutatív)
Az operátor és az operandus között további szorzásjel is állhat, ilyenkor annak a szorzásnak a definícióját kell figyelembe venni, pl:
∇⋅g = ∂igi, ∇×b = [εijk∂jbk]i
Ha viszont az operátor a szorzás jobboldalán szerepel, az eredmény is operátor, amit úgy definiálunk, hogy megadjuk az eredményét egy általános operandusra pl.:
(a⋅∇)b = aj∂jb, (a×∇)⋅b = εijkaj(∂kbi)
Skaláris szorzás (szorzóponttal jelölt szorzás)
vektorok skaláris szorzata a⋅b = aTb = aibi
ezt általánosítva vektor és mátrix skaláris szorzatát így definálhatjuk:
a⋅B = (aTB)T = [aiBij]j (a szorzat egy oszlopvektor)
Ha a szorzás kommutatív, akkor a⋅B = BTa
A nabla operátor alkalmazását is ábrázolhatjuk skaláris szorzásként (ez a "szorzás" se nem kommutatív, sem asszociatív)
∇⋅f = ∂ifi (a szorzat egy skalár)
∇⋅B = (∇TB)T = [∂iBij]j (a szorzat egy oszlopvektor)
Transzponált (jele xT)
Egy n*m es mátrix transzponáltja m*n-es mátrix: ATij = Aji
egy n elemű sorvektor transzponáltja n elemű oszlopvektor, egy n elemű oszlopvektor transzponáltja n elemű sorvektor
Vektor
Szám-n-es, amit alapvetően oszlopvektorként ábrázolunk; ha sorvektorként akarjuk használni, az a transzponálás operátorral jelezhetjük, vagy pedig egysoros mátrixként írhatjuk le: rowVect = colVectT, rowVecti= rowVect1i = colVecti1 = colVecti
Konstans vektorokon kívül vektorértékű és/vagy vektorváltozós függvényekkel is dolgozunk,
sőt: operátort is ábrázolhatunk vektorként, lásd a nabla operátornál.
A vektorokat gyakran vastag betűvel jelöljük.
Vektor elemeinek elérése
Alsóindexszel jelöljük a kívánt elemet, pl.: vi vagy w3-i
Vektor leírása komponensenként
Egyszerűsített lehetőség egy oszlopvektor elemeinek megadására: v = [képlet(i)]i pl. b = [Aijbj+ci]i
Vektorok külső szorzata (jele: ⊗)
két oszlopvektor külső szorzata egy mátrix: a⊗b = abT
Vektorszorzat (jele: ×)
két háromdimenziós vektor szorzata egy újabb vektor, mely merőleges mindkét eredeti vektorra.
Definíció: a×b = [εijkajbk]i = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1) avagy a×b = twist(a⊗b)
Formálisan a nabla operátorral is lehet vektorszorzást végezni (csak balról), ez a rotáció:
∇×b = [εijk∂jbk]i = twist(∇⊗b)
Vegyesszorzat
Három darab háromdimenziós vektor vegyes szorzatát így defináljuk:
abc = (a×b)⋅c = εijkaibjck
Könnyen ellenőrizhető, hogy
abc = bca = cab = -bac = -acb = -cba
=== Azonosságok ===
Vektorszorzás
b×a = -(a×b) = (-a)×b
(a×b)×c = (a⋅c)b - (b⋅c)a
a×(b×c) = (a⋅c)b - (a⋅b)c
Transzponálás és mátrixszorzás:
(uv)T = vTuT (csak valódi mátrixokkal/vektorokkal működik, operátorokkal nem)
Kompozíció deriváltja
d(g∘f) = ((dg)∘f)(df)
grad(g∘f) = (((grad g)∘f)T(df))T
Nabla operátor és mátrixszorzat
∇⋅(AB) = [∂j(AjkBki)]i = [(∂jAjk)Bki + Ajk(∂jBjk)]i = (∇⋅A)⋅B + (AT∇)⋅B = (∇⋅A + AT∇)⋅B
∇⋅(Ab) = ∂j(Ajkbk) = (∂jAjk)bk + Ajk(∂jbk) = (∇⋅A)⋅b + (AT∇)⋅b = (∇⋅A + AT∇)⋅b
Nabla operátor és skalárszorzat
∇(f⋅g) = grad(f⋅g) = [∂i(fjgj)]i = [(∂ifj)gj + fj(∂igj)]i = (∇fT)g + (∇gT)f
 ∇⋅(a⋅B) = div(a⋅B) = ∂i(ajBji) = (∂iaj)Bji + aj∂i(Bji) = (B∇)⋅a + a⋅(∇⋅BT)
Nabla operátor és vektorszorzat, 1
∇⋅(f×g) = ∂i(εijkfjgk) = εijk∂i(fjgk) = εijk(∂ifj)gk + εijkfj(∂igk) = εijk(∂ifj)gk + εijkfj(∂igk) =
= εkji(∂kfj)gi + εjikfi(∂jgk) = εjki(∂jfk)gi + εjikfi(∂jgk) = (-1)2εijk(∂jfk)gi + (-1)εijkfi(∂jgk) =
= (∇×f)⋅g - f⋅(∇×g)
Nabla operátor és vektorszorzat, 2
∇×(f×g) = [εijk∂j(εkmnfmgn)]i = [εijkεkmn∂j(fmgn)]i = [εijkεkmn(∂jfm)gn + εijkεkmnfm(∂jgn)]i =
= [(∂jfi)gj - (∂jfj)gi + fi(∂jgj) - fj(∂jgi)]i =
= [∂j(figj) - ∂j(fjgi)]i =
= ∇⋅((fgT)T) - ∇⋅(fgT) = ∇⋅(gfT) - ∇⋅(fgT) = ∇⋅(gfT - fgT)
f=c konstans esetén:
∇×(c×g) = [ci(∂jgj) - cj(∂jgi)]i = c(∇⋅g) - (c⋅∇)g
Nabla operátor és vektorszorzat, 3
(∇×f)×g = g⋅(∇fT) - (∇fT)g
(f×∇)×g = f⋅(dg) - f(∇⋅g) = (∇gT)f - f(∇⋅g)
Nabla operátor és külső szorzat
∇⋅(f⊗g) = (∇T(fTg))T = [∂i(figj)]j = [(∂ifi)gj)]j + [fi(∂igj)]j
= (∇⋅f)g + f⋅(∇⊗g) = (∇Tf)g + fT(∇gT)
Teljes derivált és szorzás
d(fg) = g(df) + f(dg) sorvektor
d(fg) = g(df) + f(dg) mátrix
d(f⋅g) = gT(df) + fT(dg) sorvektor
Kétszeres deriválás
∇⋅∇ = ∂12 + ∂22 + ∂32 skalár (operátor)
∇⊗∇ = [∂i∂j]ij mátrix (operátor)
div (grad f) = ∇⋅(∇f) = (∇⋅∇)f skalár
grad (div g) = ∇(∇⋅g) = (∇⊗∇)g vektor
div (rot g) = 0 skalár
rot (grad g) = 0 vektor
rot (rot g) = ∇(∇⋅g)-(∇⋅∇)g vektor
=== Elemi példák deriválásra ===
id(r) = r
d(idn) = In, div(idn) = n, rot(id3) = 0
ui ∂jxi = eij
g(r) = Ar
d(g) = A, div g = trace(A), rot g = twist(A),
ui ∂jgi = ∂j(Aikxk) = Aik∂jxk = Aikejk = Aij
f(r) = Ar⋅r
(grad f)(r) = (A+AT)r
ui ∂j(Aikrkri) = Aik∂j(rkri) = Aikrk(∂jri) + Aik(∂jrk)ri = Aikrkeji + Aikejkri = Ajkrk + Aijri = (A+AT)r
abs(r) = |r|
d(|r|) = rT/|r|, grad(|r|) = r/|r|
ui ∂j((xkxk)1/2) = (1/2)(xkxk)-1/2(2∂jxk)xj = |r|-1ejkxj = xj/|r|
f(r) = |r|k
(grad f)(r) = k|r|k-2r
ui (grad f)(r) = (k|r|k-1)(r/|r|)